3.2
Perhitungan Limit

Teorema 3.2.1.
Diberikan $a$ dan $k$ bilangan-bilangan real.
  1. $\displaystyle \lim_{x\to a}k=k$
  2. $\displaystyle \lim_{x\to a}x=a$
  3. $\displaystyle \lim_{x\to 0^-}\frac{1}{x}=-\infty$
  4. $\displaystyle \lim_{x\to 0^+}\frac{1}{x}=+\infty$
Teorema 3.2.2.
Jika $a$ bilangan real dan $$\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=L_1\quad \text{dan}\quad \lim_{x\to a}g(x)=L_2,$$ yakni limit-limit tersebut \textbf{ada} dan bernilai $L_1$ dan $L_2$, maka:
  1. $\displaystyle \lim_{x\to a}(f(x)+g(x))=\lim_{x\to a}f(x)+\lim_{x\to a}g(x)=L_1+L_2$
  2. $\displaystyle \lim_{x\to a}(f(x)-g(x))=\lim_{x\to a}f(x)-\lim_{x\to a}g(x)=L_1-L_2$
  3. $\displaystyle \lim_{x\to a}(f(x)g(x))=\left(\lim_{x\to a}f(x)\right)\left(\lim_{x\to a}g(x)\right)=L_1L_2$
  4. $\displaystyle \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim_{x\to a}f(x)}{\lim_{x\to a}g(x)}=\frac{L_1}{L_2},$ dengan syarat $L_2\neq0$
  5. $\displaystyle \lim_{x\to a}\sqrt[n]{f(x)}=\sqrt[n]{\lim_{x\to a}f(x)}=\sqrt[n]{L_1}$, dengan syarat $L_1>0$ jika $n$ genap
Semua pernyataan di atas juga benar untuk limit satu-sisi, yaitu $x\to a^-$ atau $x\to a^+$
Selain sifat-sifat pada teorema di atas, terdapat pula sifat berikut untuk $\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)$ ada.
  1. $\displaystyle \lim_{x\to a}kf(x)=k\lim_{x\to a}f(x)$.
  2. $\displaystyle \lim_{x\to a}(f(x))^n=\left(\lim_{x\to a}f(x)\right)^n.$
Teorema 3.2.3.
Untuk sebarang polinomial $$p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\dots+a_nx^n$$ dan sebarang bilangan real $a$, berlaku $$\displaystyle \lim_{x\to a}p(x)=a_0+a_1a+a_2a^2+\dots+a_na^n=p(a).$$
Umumnya, perhitungan limit dilakukan dengan mensubstitusi nilai pendekatan $x$. Namun pada kasus-kasus di mana hasil substitusi pada limit adalah bentuk tak tentu seperti $\displaystyle \frac{0}{0}$, maka penyebab munculnya bentuk tak tentu tersebut harus dihilangkan dengan manipulasi aljabar.
Contoh 1
Dengan cara merasionalkan pembilang, dapatkan $$\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{x+4}-2}{x}.$$
Pembahasan
Akan dicari nilai limit dengan merasionalkan pembilang (mengalikan pembilang dan penyebut dengan bentuk sekawan dari pembilang). Pembilang dari limit tersebut adalah $\sqrt{x+4}-2$ sehingga bentuk sekawannya adalah $\sqrt{x+4}+2$. Setelah merasionalkan pembilang, $x=0$ disubstitusi pada hasil manipulasi untuk mendapatkan nilai limit. \begin{align*} \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{x+4}-2}{x}&=\lim_{x\to 0}\left(\frac{\sqrt{x+4}-2}{x}.\frac{\sqrt{x+4}+2}{\sqrt{x+4}+2}\right)\\ &=\lim_{x\to 0} \frac{(\sqrt{x+4})^2-2^2}{x(\sqrt{x+4}+2)}\\ &=\lim_{x\to 0} \frac{x+4-4}{x(\sqrt{x+4}+2)}\\ &=\lim_{x\to 0} \frac{\cancel{x}}{\cancel{x}(\sqrt{x+4}+2)}\\ &=\lim_{x\to 0} \frac{1}{\sqrt{x+4}+2}\\ &=\frac{1}{\sqrt{0+4}+2}\\ \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{x+4}-2}{x}&=\frac{1}{4} \end{align*}
Contoh 2
Diberikan $\displaystyle f(x)=\frac{x^3-1}{x-1}$. Dapatkan $\displaystyle \lim_{x\to 1}f(x)$.
Pembahasan
Pertama-tama, hitung nilai limit dengan substitusi $x=1$. $$\displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{x^3-1}{x-1}=\frac{\displaystyle \lim_{x\to 1}(x^3-1)}{\displaystyle \lim_{x\to 1}(x-1)}=\frac{1^3-1}{1-1}=\frac{0}{0}$$ Terlihat bahwa hasilnya merupakan bentuk tak tentu $\displaystyle\frac{0}{0}$. Oleh karena itu, perlu dilakukan manipulasi aljabar untuk menghilangkan penyebab munculnya bentuk tak tentu. Dilihat dari bentuknya yang merupakan fungsi rasional, manipulasi dilakukan dengan memfaktorkan pembilang dan penyebut hingga ditemukan faktor yang sama pada keduanya. Perhatikan bahwa pembilang ($x^3-1$) dapat difaktorkan dengan rumus berikut. $$a^3-b^3=(a-b)(a^3+ab+b^2)$$ Misalkan $a=x$ dan $b=1$. $$x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$$ Adapun penyebutnya ($x-1$) tidak perlu difaktorkan lagi. Setelah itu, $x=1$ disubstitusi pada hasil manipulasi untuk memperoleh nilai limitnya. \begin{align*} \displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{x^3-1}{x-1}&=\lim_{x\to 1}\frac{(x-1)(x^2+x+1)}{x-1}\\ &=\lim_{x\to 1}\frac{\cancel{(x-1)}(x^2+x+1)}{\cancel{x-1}}\\ &=\lim_{x\to 1} (x^2+x+1)\\ &=1^2+1+1\\ \lim_{x\to 1}\frac{x^3-1}{x-1}&=3 \end{align*}
Contoh 3 (ETS 2018/2019)
Hitung limit berikut ini. $$\displaystyle \lim_{t\to-1}\frac{t^2+6t+5}{t^2-3t-4}$$
Pembahasan
Pertama-tama, hitung nilai limit dengan substitusi $t=-1$. $$\displaystyle \lim_{t\to-1}\frac{t^2+6t+5}{t^2-3t-4}=\frac{\displaystyle \lim_{t\to -1}(t^2+6t+5)}{\displaystyle \lim_{t\to -1}(t^2-3t-4)}=\frac{(-1)^2+6(-1)+5}{(-1)^2-3(-1)-4}=\frac{1-6+5}{1+3-4}=\frac{0}{0}$$ Terlihat bahwa hasilnya merupakan bentuk tak tentu $\displaystyle \frac{0}{0}$. Oleh karena itu, perlu dilakukan manipulasi aljabar untuk menghilangkan penyebab munculnya bentuk tak tentu. Dilihat dari bentuknya yang merupakan fungsi rasional, manipulasi dilakukan dengan memfaktorkan pembilang dan penyebut hingga ditemukan faktor yang sama pada keduanya. Perhatikan bahwa $t^2+6t+5$ dapat difaktorkan menjadi $(t+5)(t+1)$. Adapun $t^2-3t-4$ dapat difaktorkan menjadi $(t-4)(t+1)$. Setelah itu, $t=-1$ disubstitusi pada hasil manipulasi untuk memperoleh nilai limitnya. \begin{align*} \displaystyle \lim_{t\to-1}\frac{t^2+6t+5}{t^2-3t-4}&= \lim_{t\to-1}\frac{(t+5)(t+1)}{(t-4)(t+1)}\\ &=\lim_{t\to-1}\frac{(t+5)\cancel{(t+1)}}{(t-4)\cancel{(t+1)}}\\ &=\lim_{t\to-1}\frac{t+5}{t-4}\\ &=\frac{-1+5}{-1-4}\\ &=\frac{4}{-5}\\ \lim_{t\to-1}\frac{t^2+6t+5}{t^2-3t-4}&=-\frac{4}{5} \end{align*}
Latihan!
Kuis 2022
Dapatkan $\displaystyle \lim_{x\to 4^-}\frac{4-x}{2-\sqrt{x}}$
Jawab:
ETS 2023/2024
Hitunglah $\displaystyle \lim_{x\to 3}\frac{\sqrt {x^2-5}-2}{x-3}$.
Jawab:
ETS 2023/2024
Diketahui $f(x)=\begin{cases} 3x+1\quad x>2\\ -2x+11\quad x<2 \end{cases}$. Hitunglah $\displaystyle \lim_{x\to2}f(x).$
Jawab: